Seminario de enseñanza de las matemáticas II EMS

Van Hiele.

Introducción.

El modelo explica cómo se desarrolla el pensamiento geométrico en los estudiantes, y desde la didáctica el profesor puede guiar este desarrollo y de esta forma alcanzar niveles más elevados.

La teoría de visualización, explica que los alumnos aprenden viendo, donde este modo se puede ver de dos formas: a) como proceso formador de imágenes, b) como proceso validador de conjeturas.

Modelo Van Hiele.

Jaime y Gutiérrez describen las ideas centrales del modelo.

· Se encuentran diferentes niveles de perfección en el razonamiento geométrico.

· El estudiante solo comprende aquellos conceptos que se encuentran dentro de su nivel de razonamiento.

· Las nociones nuevas deben ser presentadas una vez que el estudiante a alcanzado el nivel de razonamiento requerido.

· No se puede enseñar a un estudiante a pensar de una determinada manera. Pero si se puede guiar para lograr que lo haga.

En el último punto muestra como el profesor puede influir y acelerar el razonamiento del individuo.

Los niveles de razonamiento.

De acuerdo con el modelo, el aprendiz es guiado por instrucciones adecuadas a través de los niveles de razonamiento. Y estos niveles nos orientan acerca de como secuenciar y organizar el currículo geométrico. El modelo es recursivo y se construye sobre la etapa anterior.

Los niveles de razonamiento del modelo de Van Hiele son los siguientes.

1. Reconocimiento o visualización. Las figuras se reconocen por su aspecto general.

2. Análisis. Se reconocen las partes que conforman una figura y sus propiedades matemáticas de manera informal.

3. Clasificación o abstracción. Se relacionan unas propiedades con otras por lo que se reconocen familias de figuras, pero el razonamiento se sigue apoyando en la manipulación.

4. Deducción. Se realizan razonamientos lógicos formales y las demostraciones se visualizan como único medio para validar una afirmación.

5. Rigor. Se reconocen los sistemas axiomáticos. Se trabaja de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos.

Como explica Jaime y Gutiérrez a cada nivel de razonamiento geométrico corresponde un tipo de lenguaje especifico: existe una estrecha relación entre los niveles y el lenguaje.

Faces de aprendizaje.

Esta parte del modelo le permiten al profesor organizar las actividades en clase para si poder alcanzar un nivel de razonamiento superior al que tienen.

Las características de las fases son:

1. Información. Esta fase revela a los estudiantes el área de la geometría a estudiar así como el material a utilizar.

2. Orientación dirigida. En esta etapa se delimitan los elementos principales, que los estudiantes deben reconocer, analizar y estudiar.

3. Explicitación. Intercambian sus experiencias al explicar y justificar sus resultados.

4. Orientación libre. En esta fase se plantean problemas más complejos.

5. Integración. En esta etapa las situaciones a revisar presentan una acumulación, comparación y combinación de conceptos adquiridos.

En cada nivel de razonamiento las actividades deben contener elementos explícitos (conocimientos ya adquiridos) así como elementos implícitos (conocimientos que deben ser adquiridos paulatinamente).

Teoría de la visualización.

Para Zimmermann y Cunningham, la visualización es un proceso mediante el cual se forman imágenes (mentalmente, con lápiz y papel o con ayuda de la tecnología) y se utilizan para una mejor comprensión de los objetos matemáticos y estimular el proceso de descubrimiento y construcción de las nociones. La experimentación y visualización permiten reorganizar el pensamiento matemático, elaborar mas fácilmente conjeturas que promuevan la construcción del conocimiento.

Sistema de ecuaciones lineales de 2x2,

por el método grafico.

Objetivos.

· Encontrar y reconocer las relaciones entre los datos de un problema y expresarlo mediante lenguaje algebraico.

· Reconocer una ecuación de primer grado con dos incógnitas, hallar sus soluciones y representarlas en un plano cartesiano.

· Identificar un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas.

· Clasificar un sistema según sus soluciones.

· Resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, mediante el método grafico.

Contenido conceptual.

· Ecuación de primer grado con dos incógnitas.

· Representación grafica de las soluciones.

· Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Interpretación grafica.

Procedimiento.

· Resolución grafica de sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Nuestro propósito es conocer es resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2, es decir un sistema de la forma.

La meta aquí es encontrar, el valor de las incógnitas x, y tales que las dos ecuaciones sean verdaderas.

En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes:

· El sistema tiene una única solución.

· El sistema no tiene solución.

· El sistema tiene más de una solución (soluciones infinitas).

Pero antes de continuar, con el método grafico ¿Que puedes contestar a ...?

1. ¿Qué es una variable?

2. ¿Cuántos tipos de variable hay, descríbelos?

3. ¿Qué es una grafica?

4. ¿Qué puedes decir acerca de la siguiente grafica?

5. ¿Qué puedes decir acerca de la siguiente grafica?

6. ¿Qué puedes decir acerca de la siguiente grafica?

7. De la grafica anterior la solución correspondiente a x es positiva o negativa, ¿por qué?

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Las preguntas 6 y 7 son de significativa importancia, ya que nos permiten hacer ciertas predicciones acerca de la solución.

· Primeramente observamos que se cruzan las rectas, lo cual indica que el sistema tiene solución única.

· Ambas rectas se cruzan en el primer cuadrante, lo cual nos indica que ambas soluciones son positivas.

· Si se cruzaran en el segundo cuadrante, lo que observamos es una solución negativa para las abscisas y positiva para las ordenadas.

· Si se cruzan en el tercer cuadrante, ambas soluciones son negativas.

· Si se cruzan en el cuarto cuadrante , lo que observamos es una solución positiva para las abscisas y una negativa para loas ordenadas.

Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 por el método grafico.

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales (de 2x2) con dos incógnitas de la forma ax+by=c, cada ecuación representa una recta en el plano. Por lo que resolver el sistema gráficamente significa encontrar los punto que tienen en común, si es que estos existen.

Para dos rectas en el plano pueden presentarse los siguientes casos:

· Que sean paralelas.

· Que sean coincidentes.

· Que se corten en un punto.

Analicemos de forma conjunta los dos primeros casos, y la razón de esto es que ninguno produce una solución útil

Ø El que sean paralelas significa que, estas nunca se cruzan por lo que no tienen puntos en común:

Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones

Encontrar su solución.

Para esto elaboramos una tabla de valores, para cada grafica, la cual es bastante simple de realizar dado que se trata de rectas, solamente necesitamos dos puntos diferentes para su traficación.

para

x	y
0	3
2	9

para

x	y
0	1
2	7

Ahora grafiquemos estos puntos en el plano y unámoslo mediante una reta, tal como se muestra.

(2,7)

(0,3)

(0,1)

(2,9)

¿Bien que podemos concluir de este ejemplo?.

Podemos observar que ambas rectas tiene la forma:

Donde el coeficiente m es la pendiente de la recta, y ambas rectas tienen la misma pendiente. Por lo que podemos generalizar: que si las rectas tienen la misma pendiente, se trata de rectas paralelas y en consecuencia el sistema de ecuaciones lineales, no tiene solución (es decir las rectas no se cruzan).

Ø El que sean coincidentes significa, que una recta esta sobre la otra, por lo que se cortan no en un solo punto, sino en toda la sucesión de puntos que forma la recta.

Dos rectas son coincidentes cuando sus ecuaciones correspondientes son equivalentes (es decir la misma ecuación),

por ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones.

Al despejar ambas ecuaciones respecto de una variable, tenemos

Podemos ver inmediatamente que ambas ecuaciones son la misma y en consecuencia la grafica de una está sobre la otra, por lo que todo punto en una recta es un punto en común de la otra recta y por lo tanto concluimos, que el par de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones.

Completa la tabla y grafica.

Como hemos visto, el que las rectas sean paralelas o coincidentes, no nos lleva a ningún lado, ya que en el mejor de los casos estamos hablando de una sola recta, o por otro lado de dos rectas que no comparten puntos en común.

Ø El que se corten en un punto, significa que tiene una solución única, por lo que el sistema es consistente.

Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones.

Para resolver el sistema, primeramente despejamos las ecuaciones

Ahora elaboremos una tabla de valores

para

x	y
1	-3
2	0

para

x	y
0	6
4	2

¿Porque esos valores y no otros?

(3,3)

(4,2)

(2,0)

(1,-3)

(0,6)

Como puedes observar, directamente de la grafica la solución es (3,3), el punto donde ambas rectas se cortan.

Practiquemos un poco resolviendo algunos ejercicios.

Ejercicios.

Resuelve los siguientes sistemas por el método grafico.

sol: x=1, y=0

sol: w=4, z=-5

sol: h=-8, k=-7

Algunos ejercicios de aplicación.

d) Dos números suman 241 y su diferencias es de 99. ¿Qué números son?

solución parcial:

Sean x, y los dos numero buscados cuya suma es 241, es decir x+y=241, además su diferencia es 99 es decir x-y=99. ¿Cuáles son los valores buscados?

e) Hallar dos números sabiendo que el mayor mas seis veces el menor es igual a 62 y el menor mas cinco veces el mayor es igual a 78.

solución parcial:

Sea h el mayor de los numero y sea k el menor de los números, así el mayor h mas seis veces el menor 6k es igual a 62, es decir h+6k=62. El menor k mas cinco veces el mayor 5h es igual a 78, es decir k+5h=78. ¿Cuáles son los valores buscados?

f) En un corral hay borregos y gallinas en un numero de 77 y si contamos las patas obtenemos 274 en total. ¿Cuántos borregos y gallinas hay?

solución parcial:

Sean b borregos mas g gallinas igual a 77, es decir b+g=77. Por otro lado un borrego tiene cuatro patas es decir hay en total 4b patas de borrego, por otra parte la gallina tiene 2 patas, por lo que en total hay 2g patas de gallina, es decir 4b patas de borrego mas 2g patas de gallinas es igual a 274, es decir 4b+2g=274.

Nombre: ______________________________________________________________

Evaluación final:

1. Resuelve gráficamente el sistema siguiente.

x	y

2. Resuelve gráficamente el sistema siguiente.

x	y

3. Consideras que el método grafico es aplicable a todos los casos, explica porque.

4. Lee con cuidado el siguiente problema.

En la panadería, Ezequiel pago 500 pesetas, por 5 barras de pan y 3 empanadas. Si Itziar pago 190 pesetas, por 2 barras de pan y 1 empanada. ¿Cuál es el precio de la empanada y la barra de pan?

Sin resolver el problema, explica en que cuadrante del plano cartesiano se encuentra la solución al problema.

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martes, 25 de noviembre de 2014

Van Hiele.

Sistema de ecuaciones lineales de 2x2